Il valore assoluto. Esercizi a due moduli, o modulo di modulo

Ci eravamo lasciati nella scorsa lezione sul significato del valore assoluto, con un semplice esercizio al riguardo. Vediamo adesso di affrontare tipologie d’esercizio più complesse.

1) | x + 3 | – | x – 8 | > 4

2) | x + 7 – | x | | = 2

Il primo è un esercizio con due moduli separati, mentre il secondo con due moduli interni. Affrontiamoli separatamente.

1) L’unica accortezza da tenere in queste tipologie d’esercizio è saper individuare correttamente gli intervalli in cui i valori assoluti sono positivi o negativi. Una volta trovati, l’impostazione dei sistemi segue con semplicità dalla definizione di valore assoluto.

Troviamo che il primo modulo è positivo per x >= -3 (x + 3 >= 0..), mentre il secondo per x >= 8. A questo punto impostiamo una tabella dei segni, SENZA calcolare il prodotto tra i segni. In particolare:

IMAG0625

Notiamo quindi che sono stati individuati tre intervalli, dove riconosciamo quando uno dei due moduli è positivo o negativo. La scrittura dei tre sistemi che forniranno le rispettive soluzioni segue facilmente:

IMAG0626

La soluzione dei tre sistemi la lascio a voi, lasciando però il risultato complessivo: x >= 9/2.

Inoltre, si vuol far notare che il metodo può essere applicato anche se sono presenti più di due moduli nell’equazione, basti segnare correttamente gli intervalli con il metodo spiegato sopra, ed aprire tanti sistemi tanti sono gli intervalli individuati.

2) La soluzione di questi esercizi invece richiede di impostare dei sistemi a matrioska: si parte con il risolvere quello più interno, per poi passare a quello più esterno. Nello specifico:

IMAG0627

Il primo sistema non ammette soluzione, pertanto ci concentriamo esclusivamente sul secondo:

IMAG0628

Lascio ancora una volta a voi i calcoli, fornendo la soluzione finale: x = -5/2 V x = -9/2.

Da notare che FORMALMENTE bisognerebbe risolvere prima il sistema interno al sistema più grande, ma praticamente, come messo in evidenza nel secondo sistema, si può considerare un unico sistema a tre disequazioni (tanto le soluzioni devono intersecarsi).

Buono studio!

Il valore assoluto. Esercizi a due moduli, o modulo di moduloultima modifica: 2015-02-02T11:55:19+01:00da ale-mazzo
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